MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA

A.      Konsep Masalah

Pada dasarnya, masalah merupakan ketidaksesuaian antara harapan dengan kenyataan. Beberapa ahli matematika mengatakan bahwa masalah merupakan pertanyaan yang harus dijawab atau direspon. Akan tetapi, tidak semua pertanyaan merupakan suatu masalah. Suatu pertanyaan dapat menjadi masalah hanya jika pertanyaan tersebut menunjukkan adanya tantangan yang yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui penjawab. Suatu pertanyaan bisa hanya menjadi pertanyaan biasa jika pertanyaan itu dapat dijawab dengan menggunakan prosedur rutin. Hal tersebut sesuai dengan pernyataan Scoenfeld (1985) yaitu bahwa definisi masalah selalu relatif bagi setiap individu. Suatu pertanyaan disebut masalah tergantung kepada pengetahuan yang dimiliki penjawab. Sebagai contoh, dapat dilihat dari dua masalah berikut ini.

Contoh 1: Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 360 m². Dia hanya menampung kendaraan jenis bus dan mobil sedan. Luas rata-rata untuk jenis sedan adalah 6 m² dan untuk kendaraan bus 24 m². Daerah parkir itu tidak dapat menampung mobil dan bus melebihi 30 kendaraan. Jika biaya parkir untuk mobil sedan Rp.3000,00 dan bus Rp.5000,00, berapa jumlah mobil sedan dan bus yang harus ditampung agar penghasilannya maksimal?

Contoh 2: seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 360 m². Dia hanya menampung kendaraan bermotor. Luas rata-rata untuk kendaraan bermotor adalah 2 m². Jika biaya parkir untuk kendaraan bermotor Rp.1000,00, berapa jumlah kendaraan bermotor yang harus ditampung agar penghasilannya maksimal?

Dari dua contoh masalah di atas, dapat terlihat perbedaan antara keduanya. Pertanyaan ke dua dapat dijawab dengan menggunakan prosedur rutin yaitu pembagian, sedangkan pertanyaan pertama memerlukan suatu pengetahuan khusus tentang aljabar, persamaan, pertidaksamaan, serta program linear. Jadi, untuk orang yang baru menguasai keterampilan dasar matematika seperti perkalian, pembagian, penjumlahan, serta pengurangan, tentu contoh pertama tersebut merupakan suatu masalah. Sedangkan, untuk anak yang baru belajar mengenal baca tulis, contoh ke dua pun dapat menjadi suatu masalah baginya.

B.       Konsep Penyelesaian Masalah

Menyelesaikan suatu masalah merupakan suatu proses untuk menerima tantangan dalam menjawab masalah. Memecahkan masalah berarti menemukan cara atau jalan mencapai tujuan atau solusi yang tidak mudah menjadi nyata. Sedangkan menurut Poyla (dalam Hudoyo, 1979) definisi pemecahan masalah adalah sebagai usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan, mencapai tujuan yang tidak dengan segera dapat dicapai.

Poyla mengelompokkan masalah dalam matematika menjadi dua kelompok, yaitu

1.        Masalah terkait dengan menemukan sesuatu yang teoritis atau praktis, abstrak atau konkrit.

2.        Masalah terkait dengan membuktikan atau menunjukkan bahwa suatu pernyataan itu benar atau salah atau tidak kedua-duanya.

Troutman (1982) menyatakan bahwa ada dua jenis pemecahan masalah matematika, yaitu

1.        Pemecahan masalah yang merupakan masalah rutin.      

2.        Masalah yang diberikan merupakan situasi masalah yang tidak biasa dan tidak ada standar yang pasti untuk menyelesaikannya.

C.      Langkah-Langkah Penyelesaian Masalah

Ada empat tahap pokok atau penting dalam memecahkan masalah yang sudah diterima luas, dan ini bersumber dari buku George Polya tahun 1973 berjudul “How to Solve It”. Keempat langkah tersebut yaitu memahami masalah, membuat rencana penyelesaian, melaksanakan rencana,  dan melihat kembali.

a.        Memahami soal atau masalah selengkap mungkin

Untuk dapat melakukan tahap 1 dengan baik, maka perlu latihan untuk memahami masalah baik berupa soal cerita maupun soal noncerita, terutama dalam hal:

1.        Apa saja pertanyaannya, dapatkah pertanyaannya disederhanakan,

2.        Apa saja data yang dipunyai dari soal atau masalah, pilih data-data yang relevan,

3.        Hubungan-hubungan apa dari data-data yang ada.

Dengan mengetahui apa yang diketahui dan ditanyakan, maka proses pemecahan masalah akan mempunyai arah yang jelas.

b.        Merencanakan cara penyelesaian dari beberapa alternatif yang mungkin

Untuk dapat melakukan tahap 2 dengan baik, maka perlu keterampilan dan pemahaman tentang berbagai strategi pemecahan masalah yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.

Bila perlu, pemecah masalah dapat melakukan langkah-langkah berikut.

1.        Mengumpulkan data atau informasi dengan mengaitkan persyaratan yang ditentukan dengan analisis.

2.        Jika diperlukan, analisis informasi yang diperoleh dengan menggunakan analogi masalah yang pernah diselesaikan.

3.        Apabila ternyata macet, perlu dibantu melihat masalah tersebut dari sudut yang berbeda.

Jika hubungan data dan yang ditanyakan sulit untuk dilihat secara langsung, maka dapat menggunakan langkah berikut.

1.        Membuat sub masalah

2.        Cobalah mengenali sesuatu yang sudah dikenali

3.        Cobalah untuk mengenali pola dengan mencari keteraturan-keteraturan

4.        Gunakan analogi dari masalah tersebut

5.        Masukan sesuatu yang baru untuk membuat hubungan antara data dengan hal yang tidak diketahui

6.        Buatlah kasus

7.        Mulailah dari akhir, yaitu dengan menganalisis bagaimana cara mendapatkan tujuan yang hendak dicapai

c.         Melaksanakan rencana tadi dengan tepat, cermat dan benar

Untuk dapat melakukan tahap 3 dengan baik, maka perlu dilatih mengenai:

1.        Keterampilan berhitung,

2.        Keterampilan memanipulasi aljabar,

3.        Membuat penjelasan (explanation) dan argumentasi (reasoning).

d.        Melihat atau memeriksa kembali jawaban apakah sudah benar, lengkap, jelas dan argumentatif (beralasan)

Setelah hasil penyelesaian diperoleh, perlu dilihat dan dicek kembali untuk memastikan semua alternati tidak diabaikan. Siswa seringkali terjebak pada tahap 3 saja, sering melupakan tahap 4 dan mengabaikan tahap 1 dan tahap 2.

Untuk dapat melakukan tahap 4 dengan baik, maka perlu latihan mengenai:

1). memeriksa penyelesaian atau jawaban (mengetes atau mengujicoba jawaban),

2). memeriksa apakah jawaban yang diperolah masuk akal,

3). memeriksa pekerjaan, adakah yang perhitungan atau analisis yang salah,

4). memeriksa pekerjaan, adakah yang kurang lengkap atau kurang jelas.

D.      Strategi Penyelesaian Masalah

Untuk membuat rencana penyelesaian masalah, kita harus mengenal terlebih dahulu beberapa strategi pemecahan masalah matematika agar pemecahan masalah dapat dilakukan secara lebih efektif dan sistematis. Secara sederhana, strategi pemecahan masalah matematika dapat diartikan sebagai suatu teknik penyelesaian soal-soal pemecahan matematika yang bersifat praktis.

Untuk dapat memilih strategi yang paling tepat dalam penyelesaian soal-soal pemecahan masalah matematika, diperlukan hal-hal berikut:

·           Pemahaman yang baik tentang materi.

·           Kemampuan menghitung juga merupakan bagian yang penting, karena hampir semua strategi pemecahan masalah matematika menuntut keterampilan menghitung

Ada 11 strategi pemecahan matematika (Reys, 1978), yaitu sebagai berikut.

1.        Strategi Act It Out

Strategi ini menuntut kita melihat apa yang ada dalam masalah dan membuat hubungan antar komponen dalam masalah menjadi jelas melalui serangkaian aksi fisik atau manipulasi objek.

Contoh: Ibu membeli 12 buah apel, diberikan kepada adik 3 dan diberikan kepada ayah 2. Berapa sisa apel yang dibawa ibu?

Dengan menggunakan serangkaian aksi fisik yaitu dengan diperagakan, masalah akan lebih mudah dipahami.

2.        Membuat gambar atau diagram

Strategi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah dan memperjelas hubungan yang ada. Dalam pembuatan gambar tidak perlu secara detail, cukup menggambarkan yang berhubungan dengan permasalahan.

Contoh: Sebuah kubus memiliki rusuk a cm. Hitunglah panjang diagonal ruang kubus tersebut!

3.        Mencari Pola

Strategi ini untuk memudahkan memahami permasalahan. Dalam strategi ini, siswa diminta untuk membuat tabel dan kemudian menggunakannya untuk menemukan polayang relevan dengan permasalahan yang ada.

Contoh: Setiap bulan, gaji karyawan di sebuah perusahaan selalu naik Rp600,00. Jika gaji mereka pada bulan Juli 1.560.000, berapa gaji karyawan pada akhir tahun?

Bulan	agust	Sept	Okt	Nov	Des	n
tambahan	600	1200	1800	2400	3000	1.560.000 + 3000

4.        Membuat Tabel

Strategi ini membantu mempermudah siswa untuk melihat pola dan memperjelas informasi yang hilang. Strategi ini sangat membantu dalam mengklasifikasi dan menyusun informasi atau data dalam jumlah besar.

Contoh: Ani membeli 2 buku 1 penghapus, sedangkan Adi membeli 3 buku dan 2 penghapus. Jika harga satu buku Rp2000,00 dan harga satu penggaris Rp1000,00, berapa mereka harus membayar?

Barang	Ani	Adi	Harga	Biaya
Buku	2	1	2000	3 x 2000 = 6000
penggaris	3	2	1000	5 x 1000 = 5000
			Total	11.000

5.        Menghitung semua kemungkinan secara sistematis

Strategi ini sering digunakan bersamaan dengan strategi “mencari pola” dan “membuat tabel”, karena kadangkala tidak mungkin bagi kita untuk mengidentifikasi seluruh kemungkinan himpunan penyelesaian.

Contoh: Terdapat 6 orang anak yang saling berpasangan, ada berapa cara dalam menentukan pasangan keenam anak tersebut?

Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kita dapat langsung mencari semua kemungkinan jawaban.

6.        Menebak dan menguji

Strategi ini didasarkan pada aspek-aspek yang relevan dengan permasalahan yang ada, ditambah dengan pengetahuan dari pengalaman sebelumnya. Hasil tebakan harus bisa diuji kebenarannya serta diikuti oleh sejumlah alasan yang logis.

Contoh: Pada gambar segitiga siku-siku di bawah ini, tentukan panjang AC!

Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 60°. Memiliki perbandingan sisi-sisi yaitu , dengan  berada di depan sudut 60°. Namun demilian, tebakan tersebut tetap harus diuji kebenaran secara logis.

7.        Bekerja mundur

Strategi ini digunakan untuk menjawab permasalahan yang menyajikan kondisi (hasil) akhir dan menanyakan sesuatu yang terjadi sebelumnya.

Contoh: Mula-mula, Aldi berangkat dari kota A ke kota B ddengan kecepatan 50 km/jam, setelah 35 menit, ia beristirahat selama 1 jam. Kemudian, Aldi melanjutkan perjalanan dengan kecepatan 40 km/jam selama 20 menit dan sampai di kota B tepat pukul 5 sore. Pukul berapa Aldi berangkat dari kota A?

Pada masalah di atas, yang ditanyakan adalah keadaan sebe;umnya yaitu waktu keberangkatan. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan strategi bekerja mundur dengan terlebih dahulu menghitung waktu perjalanan dan kemudian mengurangkannya dengan waktu saat tiba di kota B.

8.        Mengidentifikasi informasi yang diinginkan, diberikan, dan diperlukan

Strategi ini membantu kita menyortir informasi dan memberi mereka pengalaman dalam merumuskan pertanyaan.

Contoh: Tentukan faktor prima dari 60!

Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita harus menentukan permasalahan yang akan dijawab yaitu faktor prima dari 60. Selanjutnya, kita akan menggunakan informasi faktor-faktor dari 60 untuk menentukan faktor mana yang termasuk bilangan prima.

9.        Menulis kalimat terbuka

Hal ini kita melihat hubungan antara informasi yang diberikan dan yang dicari.

Untuk menyederhanakan permasalahan, kita dapat menggunakan variabel sebagai pengganti kalimat dalam soal.

Contoh: Tika lebih tua dari Abi. Selisih umur Tika dan umur Abi sekarang 5 tahun, 4 tahun lagi jumlah umur mereka 53 tahun. Berapa umur Abi sekarang?

Misalkan umur Tika x dan umur Abi y, maka

Jumlah umur mereka 4 tahun lagi 53, maka

 

Kemudian, jika disubstitusikan menjadi

                                             

                                                                                                    

Jadi, umur Abi sekarang 20 tahun.

10.    Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana atau serupa

Suatu masalah yang rumit dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan masalah yang serupa tetapi lebih sederhana.

Contoh: lantai suatu kelas terbuat dari keramik dengan ukuran 20 x 20 cm. Jika luas lantai 50 m², berapa keramik yang dibutuhkan untuk membuat lantai tersebut?

Untuk menghitung keramik satu per satu pasti sangat sulit. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan soal di atas, kita hanya membagi luas lantai dengan luas satu keramik.

11.    Mengubah pandangan

Masalah yang dihadapi perlu didefinisikan dengan cara yang sama sekali berbeda.

Contoh: Untuk persamaan -2, jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akarnya, tentukan !

Masalah di atas tidak akan mudah diselesaikan dengan mencari akar pada umumnya. Pandangan ini dapat diubah dengan menggunakan sifat-sifat akar persamaan kuadrat.

-2

a = -2

            b = 5

            c = 6

maka,

=               dan         =

            =                                    =

            =                                            = -3

Sehingga,

a.         =

                     = – 2. -3

                     = – (-6)

                     =

E.       Contoh Penyelesaian Masalah

1.        Ani membeli  2 buah pensil dan 3 penghapus   dengan harga Rp 2.400,00. Budi membeli 3 buahpensil dan sebuah penghapus dengan harga Rp 2.200,00.  Berapakah harga sebuah pensil dan 2 penghapus?

Penyelesaian

Misalkan:

Harga 1 buah pensil            = x

Harga 1 buah penghapus = y

Sehingga kalimat matematika dari soal tersebut adalah:

 .........................persamaan 1

   .........................persamaan 2

Kemudian kita selesaikan kalimat matematika tersebut dengan cara menyelesaikan SPLDV

 | |

|

Subtitusikan  ke persamaan 1

Jadi, Harga 1 buah pensil = Rp 600,00 dan harga sebuah penghapus = Rp400,00

2.        Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m².  Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

Penyelesaian :

Persamaan garis fungsi pembatas :

x + 5y = 440..........titik potong sb-x (440,0), titik potong sb-y (0,88)

x + y = 200............titik potong sb-x (200,0), titik potong sb-y (0,200)

titik potong kedua garis :

x + 5y = 440

x + y = 200   -

    4y = 240

      y = 80

x + y = 200

x + 80 = 200

       x = 120

jadi titik potong kedua garis (120,80)

titik potong sb-x pilih yg lebih kecil yaitu (200,0) dan titik potong sb-y pilih (0,88)

Uji titik pojok :

fungsi obyektif : f(x,y) = 1000x + 2000y

(200,0)..........f(200,0) = 1000 . 200 + 0 = 200.000

(0.88)...........f(0,88) = 0 + 2000 . 88 = 176.000

(120,80).......f(120,80) = 1000 . 120 + 2000 . 80 = 280.000

Jadi hasil maksimum tempat parkir adalah Rp. 280.000,00

3.        Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B. Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

·           Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas
Misalkan : Paku jenis I = x dan
Paku jenis II = y

·           Tabel

Barang	Bahan A	Bahan B
Paku jenis I	200 gram	75 gram
Paku jenis II	150 gram	50 gram
Jumlah	5.500 gram	2.000 gram

·           Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500
75x + 50y ≤ 2.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas
200x + 150y ≤ 5.500 4x + 3y ≤ 110
75x + 50y ≤ 2.000 3x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0

·           Mencari daerah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah

4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 220
3x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240
– x = -20
x = 20

untuk x = 20
3x + 2y = 80 3.20 + 2y = 80
2y = 80 – 60
y = = 10 maka titik potong (20,10)

·           Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik
optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)

Nilai fungsi obyeknya adalah :
Untuk O(0,0) z = 500.0 + 350.0 = 0
UntukA(80/3,0) z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000
UntukB(20,10) z = 500.20 + 350.10 = 13.500
UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000

Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka
pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

dari: berbagai sumber